Latar Belakang
Awal abad ke-19
akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan
non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János Bolyai dan
Rusia matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada
geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut
Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama
lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah
Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan
seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak
mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean
dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana
kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k
parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin
untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta
fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang terkenal pada
1854, mendirikan bidang geometri Riemann , membahas khususnya ide-ide sekarang
disebut manifold , Riemannian metrik , dan kelengkungan . Ia dibangun sebuah
keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus
untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean . Yang
paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap
menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua
geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan
Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah
yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih
sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak
sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang
disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan
penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s
kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang
menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang
diketahui ℓdan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat
satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam
geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A
ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris
melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang ,
dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Penciptaan non-Euclidean Geometri
Awal abad ke-19 akhirnya akan
menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan non-Euclidean
geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematikaJános Bolyai dan Rusia matematika Nikolai
Lobachevsky secara
terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri
hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan,
independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai,
ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan seperti
geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan.
Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan
paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean
dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai
berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan
melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau
non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang
terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri
Riemann ,
membahas khususnya ide-ide sekarang disebutmanifold , Riemannian
metrik ,
dan kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga
tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk
keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang
Euclidean . Yang
paling sederhana ini disebut geometri
berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis
paralel.
Geometri Non-Euclides
timbul muncul karena para ahli matematika berusaha membuktikan kebenaran dari
postulat yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya.
Matematikawan John Playfair mencoba mengganti postulat kelima dengan
Aksioma Playfair yaitu:
1. melalui satu titik yang diketahui, tidak pada
suatu garis yang diketahui, hanya dapat dibuat suatu garis paralel dengan garis
itu. Atau,
2. dua garis yang berpotongan tidak mungkin paralel
dengan garis yang sama.
Melalui titik P diluar garis m hanya dapat dibuat
sebuah garis yang sejajar dengan m. Jika g dan berpotongan maka g dan k tidak
mungkin sejajar.
Jika kita perhatikan kembali postulat parallel dari
Geometri Euclides bunyinya kurang lebih adalah sebagai berikut “melalui satu
titik di luar sebuah garis dapat dibuat tidak lebih dari satu garis yang
parallel dengan garis tersebut”. Sedangkan postulat parallel dari Geometri
Hiperbolik atau Geometri Lobachevsky yang ditemukan dalam tahun 1826 adalah
sebagai berikut: “Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat lebih
dari satu garis (tepatnya dua garis) yang parallel dengan garis tersebut”.
Perlu kita perhatikan bahwa dalam Geometri Hiperbolik garis yang tidak memotong
garis yang lain tidak berarti bahwa garis itu parallel dengan garis tersebut.
Seperti telah kita ketahui Geometri NonEuclides
timbul karena para matematikaawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima
dari Euclides. Jadi Geometri Non-Euclides masih berdasarkan empat postulat
pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada postulat kelimanya. Dengan
demikian Geometri Non-Euclides termuat dalam Geometri Absolut
Dari kelima
aksioma Euclides, jika aksioma kesejajaran dihilangkan maka geometri ini
dinamakan Geometri Netral (The Neutral Geometry) atau Geometri Absolut. Apabila
dalam geometri yang menganut aksioma I –
V, diberlakukan juga aksioma yang mengatakan bahwa melalui sebuah titik P di
luar sebuah garis g ada lebih dari satu garis yang sejajar dengan g, maka
geometri ini dinamakan geometri Lobachevsky.
Terminologi
Itu Gauss yang menciptakan istilah
“non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada karyanya sendiri yang hari ini
kita sebut geometri hiperbolik. Beberapa penulis modern yang masih
menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim.
Pada tahun 1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik
dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa
sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu
menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang
di bawah payung projective
geometri .
Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem,
ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat
dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri
non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat
panjang”.
Ada beberapa hebat matematika yang
akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut “non-euclidean” dengan
berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya, terutama yang paling matematika
fisika ,
istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean .
Aksioma Dasar non-Euclidean
Geometri
Geometri Euclidean aksiomatik dapat
dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli Euclid lima
postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan
asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai
aksioma. sistem
Hilbert yang
terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan
pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda
dari istilah
terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang
berbeda. Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis
setara dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma
Playfair, sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan
aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang sama tetapi tidak
kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang
setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan
meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri
absolut .
Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalamThe Elements) tidak memerlukan
penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan
benar dalam geometri mutlak.
Untuk mendapatkan geometri
non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh
yang negasi . Meniadakan aksioma
Playfair ‘s bentuk,
karena itu adalah pernyataan majemuk (… terdapat satu dan hanya satu …), bisa
dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui
paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik
paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel
dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan
garis ltidak melewati P, terdapat dua garis melalui P yang tidak
memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri
hiperbolik .
Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan
dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak
melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu
set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak
, tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini
dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan
merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut
tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini
tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak.
Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan.
Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat
Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu
untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas.Riemann ‘s geometri
eliptik muncul
sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.
Pengertian Matematika Modern (Geometri Non-Euclid)
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua
geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan
Euclidean paralel
postulat ,
yaitu hiperbolik dan geometri
eliptik . Ini
adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika
yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris
umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri
Euclidean , tetapi
hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan
penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan,
yang paralel
mendalilkan ,
setara dengan yang
Playfair postulat yang
menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang
diketahui ℓdan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat
satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam
geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak
terhingga banyak
baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri
eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri
pada geometri
hiperbolik , geometri
berbentuk bulat panjang , dan geometri
mutlak untuk
informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk
menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis lurus
tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran ketiga:
Dalam
geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan
jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam
geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak
sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak
lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels.
Dalam
geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan
akhirnya berpotongan.
Macam-Macamm Geometri Non-Euclid
A. Geometri Hiperbolik
Geometri hiperbolik merupakan salah
satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap
postulat kesejajaran euclid. Didalam geometri Euclid terdapat lima postulat
(aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan
mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat itu, tetapi postulat yang
kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan. Postulat kelima
tersebut dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid. Hal inilah yang
menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid. Geometri hiperbolik adalah
geometri yang menggunakan empat postulat geometri Euclid dan mengganti postulat
kesejajaran hiperbolik. Akibat pergantian postulat ini terjadi sifat antara
geometri Euclid dan geometri hiperbolik salah satunya adalah jumlah ukuran
sudut segitiga. Pada geometri Eucilde jumlah ukuran sudut segtiga dalah 180
derajat. Sedangkan pada geometri hiperbolik jumlah ukuran sudut segitiga kurang
dari 180 derajat.
Setelah karya Gauus, Lobachevsky
dan bolyai, muncul pertanyaan yang lain
“seperti apakah model dari geometri hiperbolik?”. Pertanyaan ini terjawab
Eugenio Beltrami tahun 1868, Dia yang pertama kali menunjukkan bahwa bidang yang
berbentuk pseudosphere mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian
ruang hiperbolik. Awalnya Lobachevsky menamakan geometri temuannya dengan
sebutan “Geometri eImaginaire” karena dia belum bisa memahami model untuk jenis
geometrinya. Geometri hiperbolik diperkenalkan oleh Felik Klein tahun 1871.
Geometri hiperbolik sering jaga disebut geometri Lobachevsky, untuk memudahkan
dan menandai karya lobachevsky sehingga postulatnya dikenal dengan postulat
kesejajaran lobachevsky.
Model Geometri
Hiperbolik
Geometri Hiperbolik : segiempat
Saccheri
Kali ini kita akan lebih mengenal salah satu konsep
dalam geometri hiperbolik yaitu segiempat Saccheri. Boleh dibilang konsep ini
adalah salah satu konsep yang mempelopori adanya geometri non-Euclid.
Sepertinya postulat ke-5 dari Euclid menjadi dasar dari fenomena ini.
Bahkan para ahli geometri terdahulu
lebih menganggap postulat ini sebagai teorema dari pada aksioma.
Gambar A.SegiempatSaccheri
Disebut segimepat Saccheri, karena
untuk mengormati sumbangsih Geralomo Saccheri yang telah tercatat hampir
menemukan geometri non-Eulcide.
Segiempat Saccheri adalah sebuah
segiempat ABCD dengan dua sudut siku-siku berdekatan yaitu pada A dan B, dengan
sisi AD≃DC. Sisi AB disebut sisi alas dan sisi DC disebut sisi atas.
Nanti akan kita temukan bahwa
aksioma hiperbolik mengakibatkan sudut C dan D pada Gambar A bukan sudut
siku-siku seperti apa yang berlaku pada geometri Euclid. Uniknya pada segiempat
Saccheri ini memiliki teorema-teorema yang berlaku baik pada geometri Euclid
maupun hiperbolik. Hal ini mungkin karena dalam pembuktiannya, teorema-teorema
itu menggunakan empat postulat pertama Euclid dan konsep geometri hiperbolik.
c. Sifat-sifat Geometri Hiperbolik
›
Jika diberikan garis l dan titik P di luar l, maka terdapat lebih dari satu
garis yang melalui P dan paralel dengan l.
›
Jumlah sudut pada segitiga kurang
dari pada 180º.
›
Jika dua garis paralel dilalui oleh sebuah garis, maka besar sudut-sudut
yang berseberangan besarnya tidak sama.
›
Bisa dibuat persegi panjang.
›
Terdapat dua segitiga yang serupa, lebih dari itu terdapat dua segitiga
yang kongruen.
B.Geometri Parabolik
Geometri Non Euclid lahir setelah
terpecahkannya permasalahan postulat
kesejajaran Euclid oleh Bolya dan
Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri Lobachevsky dan geometri
Riemann. Geometri Lobachevsky disebut geometri Hiperbolik, mengingat bahwa
melalui 1 titik di luar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis tersebut.
Geometri Riemann disebut geometri Eliptik, mengingat tidak ada garis yang dapat
dibuat sejajar garis tersebut. Sedangkan geometri Euclid disebut geometri
Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar garis tersebut.
Geometri Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid dengan
mengasumsikan prinsip-prinsip
berikut ini:
Postulat kesejajaran Reimann: Tidak
ada garis yang sejajar.
Sedangkan Postulat Kesejajaran
Euclid mengatakan bahwa Dua garis yang tegak lurus
dengan garis yang sama akan sejajar.
Diketahui: dua garis yang berbeda l,
m yang tegak lurus dengan n (gambar (a).
Akan dibuktikan l sejajar dengan m
Bukti
Andaikan l tidak sejajar dengan m
maka l akan berpotongan dengan m di titik C (gambar(b)). Misalkan l, m
berpotongan dengan n di A, B.
Langka
1. Perluas CA melalui panjangnya
sendiri 1. Segmen dapat digandakan
Melalui A ke C’
2. Gambar C ’B 2. D ua t itik m
enentukan s uatu g aris
3. ΔABC kongruen dengan ΔABC’ 3. Sis
sudut sisi
4. ∠ABC = ∠ABC’ 4. B agian y ang s ehadap
Jadi ∠ ABC’ merupakan sudut siku-siku
BC dan BC’ tegak lurus AB
5. BC dan BC’ serupa
Jadi, AC dan BC, atau l dan m
memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.
6. Jadi l dan m serupa
Hal ini kontradiksi dengan hipotesis
kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda.
Jadi pengandaian kita salah dan
teorema berlaku.
Alasan
1. Segmen dapat digandakan
2. Dua titik menentukan garis
3. Sisi sudut sisi
4. Bagian yang sehadap
5. Hanya ada satu garis yang tegak lurus
dengan garis yang diketahui pada titik pada garis yang diketahui pula.
6. Dua titik menentukan garis
Analisis pembuktian Riemann
ü
Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa “l dan m
serupa” karena garis tersebut memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.
Langkah ini akan gagal jika C dan C’ tidak berbeda
Euclid
mengasumsikan bahwa setiap garis “memisahkan bidang menjadi dua sisi yang berhadapan
(Separation Principle)
Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi dalam
Langkah 1 pembuktian di atas (untuk memperluas CA melalui panjangnya C’)
menjamin bahwa C dan C’ berada pada sisi sehadap dari n dan merupakan titik
yang berbeda.
Tanpa sifat pemisah, keberadaan C dan C’ tidak
memiliki justifikasi formal dan bukti tersebut akan gagal.
Menurut Riemann Jika prinsip pemisahan tersebut diterima, C
dan C’ haruslah merupakan titik yang berbeda,
Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “ dua
titik menentukan suatu garis”, artinya memperbolehkan dua garis untuk
berpotongan dalam dua titik.
Kesimpulan
-Geometri Non-Euclides timbul muncul karena para ahli
matematika berusaha membuktikan kebenaran dari postulat yang kelima dari Euclid
dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya.
-Seperti telah kita ketahui Geometri NonEuclides
timbul karena para matematikaawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima
dari Euclides. Jadi Geometri Non-Euclides masih berdasarkan empat postulat
pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada postulat kelimanya
-Geometri hiperbolik adalah
geometri yang menggunakan empat postulat geometri Euclid dan mengganti postulat
kesejajaran hiperbolik.
-Pada geometri eliptik bahwa ;
Ada dua teori geometris
yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann.
Pertama, teori geometri
eliptik tunggal,Sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik,
tetapi tidak ada garis yangmemisahkan bidang tersebut, dua titik yang dimetral
dianggap sebagai 1 titik.
Kedua, teori geometri
eliptik rangkap dua, Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik dan setiap
garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang.
Daftar Pustaka
Tidak ada komentar:
Posting Komentar