Filsafat Matematika

Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa, ”mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkan menurut fallibilis “mathematicak truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction‟ (Ernest, 1991).

Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika.

Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Russel telah menunjukkan bahwa sistem yang dipublikasikan Gottlob Frege tahun 1879 dan 1893 tidak konsisten. Kontradiksi lainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus.

            Wilkins, DR, 2004, menjelaskan bahwa terdapat  beberapa definisi  tentang matematika yang berbeda-beda. Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan  penalarannya bersifat  deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman.Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika konsistensi ini.  Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru.

Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran.

Dia menambahkan bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsepkonsep matematika, bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa. 

            Hempel, CG, 2001, menyatakan  bahwa sistem mandiri yang stabil tentang prinsip dasar adalah ciri khas dari teori matematika; model matematika dari beberapa proses alami atau perangkat teknis pada dasarnya adalah sebuah model yang yang stabil tentang yang dapat diselidiki secara independen dari "aslinya "dan, dengan demikian, kemiripan model dan" asli "hanya menjadi terbatas, hanya model tersebut dapat diselidiki oleh matematikawan. Hempel berpikir bahwa setiap upaya untuk menyempurnakan model yaitu untuk mengubah definisi untuk mendapatkan kesamaan lebih dengan "asli", mengarah ke model baru yang harus tetap stabil, untuk memungkinkan penyelidikan matematika, dengan itu, teori-teori matematika adalah bagian dari ilmu kita yang bisa secara terus melakukannya jika kita bangun. Hempel menyatakan bahwa model matematika tidak terikat dengan ke "aslian" sumbernya; akan tetapi terlihat bahwa beberapa model dibangun dengan buruk, dalam arti korespondensi untuk "aslian" sumber mereka, namun yang matematikawan investigasi berlangsung dengan sukses. Menurut dia, sejak model matematis didefinisikan dengan tepat, "tidak perlu lagi " "keaslian" nya sumber lagi. Satu dapat mengubah model atau memperoleh beberapa model baru tidak hanya untuk kepentingan korespondensi dengan sumber "asli", tetapi juga untuk percobaan belaka. Dengan cara ini orang dapat memperoleh berbagai model dengan mudah yang tidak memiliki "sumber asli" nya, yaitu sebuah cabang matematika yang telah dikembangkan yang tidak memiliki dan tidak dapat memiliki aplikasi untuk masalah yang nyata. 

Hempel, CG, 2001, mencatat bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri dari dua bagian - premis dan kesimpulan, karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini bukan perpanjangan dari sistemnya. Dia menyadari bahwa teori-teori matematika yang terbuka untuk gagasan-gagasan baru, dengan demikian, di Kalkulus setelah konsep kontinuitas terhubung maka berikut diperkenalkan: titik diskontinyu, kontinuitas, kondisi Lipschitz, dll dan semua ini tidak bertentangan dengan tesis tentang karakter aksioma, prinsip dan aturan inferensi, namun tidak memungkinkan "matematika bekerja"  dengan menganggap teori-teori matematika sebagai yang sesuatu tetap.

Kemerling, G., 2002, menjelaskan bahwa pada pergantian abad kedua puluh, filsuf mulai mencurahkan perhatian terhadap dasar-dasar sistem logis dan matematis, karena dua ribuan tahun logika Aristotelian tampak penjelasan yang lengkap dan final dari akal manusia, namun geometri Euclid juga tampaknya aman, sampai Lobachevsky dan Riemann menunjukkan bahwa konsepsi alternatif tidak hanya mungkin tetapi berguna dalam banyak aplikasi. Dia menyatakan bahwa upayaupaya serupa untuk berpikir ulang struktur logika mulai akhir abad kesembilan belas di mana John Stuart Mill mencoba untuk mengembangkan sebuah rekening komprehensif pemikiran manusia yang difokuskan pada induktif daripada penalaran deduktif; bahkan penalaran matematika, John Stuart Mill seharusnya, dapat didasarkan pada pengamatan empiris. Kemerling summep up yang banyak filsuf dan matematikawan Namun, mengambil pendekatan yang berbeda. Ia menjelaskan bahwa Logika adalah studi tentang kebenaran yang diperlukan dan metode sistematis untuk mengekspresikan dengan jelas dan rigourously menunjukkan kebenaran tersebut; logicism adalah teori filsafat tentang status kebenaran matematika, yakni, bahwa mereka secara logis diperlukan atau analitik. Disarankan bahwa untuk memahami logika pertama-tama perlu untuk memahami perbedaan penting antara proposisi kontingen, yang mungkin atau mungkin tidak benar, dan proposisi perlu, yang tidak bisa salah; logika adalah bukti untuk membangun, yang memberikan kita konfirmasi yang dapat diandalkan kebenaran proposisi terbukti. Logika dapat didefinisikan sebagai bersangkutan dengan metode untuk penalaran. Sistem logical kemudian formalisations satu metode yang tepat dan kebenaran logis adalah mereka dibuktikan dengan metode yang benar. Kebenaran-kebenaran matematika karena itu kontingen, namun untuk logicism, kebenaran matematika adalah sama dalam semua kemungkinan dunia, karena mereka tidak tergantung pada keberadaan himpunan, hanya pada konsistensi anggapan bahwa himpunan yang dibutuhkan ada; sejak benar dalam himpunaniap dunia yang mungkin, matematika harus logis diperlukan.

Banyak filsuf telah mengambil matematika menjadi paradigma pengetahuan, dan penalaran yang digunakan dalam mengikuti bukti matematika sering dianggap sebagai lambang pemikiran rasional, namun matematika juga merupakan sumber yang kaya masalah filosofis yang menjadi pusat epistemologi dan metafisika sejak awal filsafat Barat; di antara yang paling penting adalah sebagai berikut: bilangan nol dan entitas matematika lainnya ada secara independen dari kognisi manusia; Jika tidak maka bagaimana kita menjelaskan penerapan matematika yang luar biasa bagi ilmu pengetahuan dan urusan praktis?? Jika demikian maka apa hal yang mereka dan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka;? Dan Apa hubungan antara matematika dan logika? (. Filsafat Matematika, http://Googlesearch) Pertanyaan pertama adalah pertanyaan metafisik dengan kedekatan dekat dengan pertanyaan tentang keberadaan entitas lain seperti universal, sifat dan nilai-nilai, sesuai dengan banyak filsuf, jika entitas tersebut ada maka mereka sehingga di luar ruang dan waktu, dan mereka tidak memiliki kekuatan kausal, mereka sering disebut abstrak dibandingkan dengan entitas beton. 

Jika kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi yang memadai matematika harus menjelaskan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka, tentu saja, bukti tampaknya menjadi sumber utama pembenaran bagi proposisi matematika tetapi bukti bergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita bisa tahu kebenaran dari aksioma tetap. Hal ini biasanya berpikir bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran yang diperlukan, bagaimana kemudian apakah mungkin bagi terbatas, makhluk fisik yang mendiami dunia yang kontingen memiliki pengetahuan tentang kebenaran tersebut? Dua pandangan yang luas secara baik yaitu mungkin kebenaran matematika dikenal dengan alasan, atau mereka dikenal oleh inferensi dari pengalaman sensorik. Pandangan rasionalis mantan diadopsi oleh Descartes dan Leibniz yang juga berpikir bahwa konsep-konsep matematika adalah bawaan, sedangkan Locke dan Hume himpunanuju bahwa kebenaran matematika dikenal oleh akal tapi mereka pikir semua konsep-konsep matematika yang diperoleh abstraksi dari pengalaman; dan Mill adalah seorang empiris lengkap tentang matematika dan memegang kedua bahwa konsep-konsep matematika berasal dari pengalaman dan juga bahwa kebenaran matematika adalah benar-benar generalisasi induktif dari pengalaman. Sementara itu, penemuan pada pertengahan abad kesembilan belas nonEuclidean geometri berarti bahwa filsuf dipaksa untuk menilai kembali status geometri Euclidean yang sebelumnya telah dianggap sebagai contoh Shinning pengetahuan tertentu di dunia, banyak mengambil keberadaan non konsisten -Euclidean geometri menjadi penentangan secara langsung dari kedua Mill dan filsafat Kant tentang matematika. Pada akhir abad kesembilan belas penyanyi telah ditemukan berbagai paradoks dalam teori kelas dan ada sesuatu krisis dalam dasar matematika. 

Pada awal abad kedua puluh kita melihat kemajuan besar dalam matematika dan juga dalam logika matematika dan dasar matematika dan sebagian besar isu-isu fundamental dalam filsafat matematika dapat diakses oleh siapa saja yang akrab dengan geometri dan aritmatika dan yang telah memiliki pengalaman mengikuti matematika bukti. Namun, beberapa perkembangan filosofis paling penting dari abad kedua puluh itu dipicu oleh perkembangan yang mendalam yang terjadi dalam matematika dan logika, dan apresiasi yang tepat dari masalah ini hanya tersedia bagi seseorang yang memiliki pemahaman tentang teori himpunan dasar dan menengah logika. Untuk membahas falsafah matematika pada tingkat lanjutan yang benar-benar harus memeriksa gagasan yang mencakup bukti dari teorema ketidaklengkapan Gödel 's serta membaca tentang berbagai topik dalam filsafat matematika. Nikulin, D., 2004, menjelaskan bahwa para ilmuwan kuno dan filsuf yang mengikuti program PlatonisPythagoras, dirasakan bahwa matematika dan metode yang dapat digunakan untuk menggambarkan alam. Menurut Plato, matematika dapat memberikan pengetahuan tentang engsel yang tidak bisa sebaliknya dan karena itu tidak ada hubungannya dengan hal-hal fisik pernah lancar, tentang yang hanya ada pendapat yang mungkin benar. Nikulin menyatakan bahwa Platonis hati-hati membedakan antara aritmetika dan geometri dalam matematika itu sendiri, sebuah rekonstruksi teori Plotinus 'dari nomor, yang mencakup pembagian Plato an dari angka ke substansial dan kuantitatif, menunjukkan bahwa angka yang terstruktur dan dipahami bertentangan dengan entitas geometris. Secara khusus, angka ini dibentuk sebagai kesatuan sintetis terpisahkan, unit diskrit, sedangkan objek geometris yang terus menerus dan tidak terdiri dari bagian tak terpisahkan.

Istilah "dasar atau landasan matematika" kadang-kadang digunakan untuk bidang tertentu dari matematika itu sendiri, yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, teori bukti dan teori model; pencarian dasar matematika Adalah juga pertanyaan sentral dari filosofi matematika: atas dasar apa dapat laporan utama matematika disebut "benar"? Paradigma matematika saat ini dominan didasarkan pada teori himpunan aksiomatik dan logika formal; semua teorema matematika hari ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori disusun; kebenaran pernyataan matematika, dalam pandangan ini, kemudian apa-apa kecuali klaim bahwa pernyataan itu dapat berasal dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Namun, pendekatan formalistik tidak menjelaskan beberapa isu seperti, mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, mengapa kita harus menggunakan aturan logika yang kita lakukan dan bukan lainnya, mengapa "benar" pernyataan matematika tampaknya benar dalam dunia fisik; dimana Wigner disebut ini sebagai efektivitas yang tidak masuk akal matematika dalam ilmu fisika.

Kita mungkin mempertanyakan apakah mungkin bahwa semua pernyataan matematika, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma-aksioma teori mengatur, apalagi, sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel kedua, kita tidak pernah bisa yakin bahwa ini tidak terjadi. Selanjutnya, ia menjelaskan bahwa dalam realisme matematika, kadangkadang disebut Platonisme, keberadaan dunia objek matematika independen dari manusia ini mendalilkan; kebenaran tentang obyek ditemukan oleh manusia, dalam pandangan ini, hukum alam dan hukum-hukum matematika memiliki status yang sama, dan "efektivitas" berhenti menjadi "masuk akal" dan tidak aksioma kita, tetapi dunia yang sangat nyata dari objek matematika membentuk yayasan. Ia menjelaskan bahwa pertanyaan yang jelas, kemudian, adalah: bagaimana kita mengakses dunia ini, beberapa teori modern dalam filsafat matematika menyangkal keberadaan yayasan dalam arti asli; beberapa teori cenderung berfokus pada praktek matematika, dan bertujuan untuk? menggambarkan dan menganalisis kerja aktual yang hebat matematika sebagai kelompok sosial, sedangkan, yang lain mencoba untuk menciptakan ilmu pengetahuan kognitif matematika, dengan fokus pada kognisi manusia sebagai asal dari keandalan matematika ketika diterapkan pada 'dunia nyata', dan karena itu, ini teori akan mengusulkan untuk menemukan dasar hanya dalam pemikiran manusia, tidak dalam 'tujuan' di luar konstruk. Singkatnya, masalah ini masih kontroversial.