KETERBAGIAN OLEH 3, 9 DAN 11

Misalkan bilangan a = a_n a_{n-1 …} a₁ a₀

) Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya ( a_n + a_n-1 + … + a₁ + a₀ )

habis dibagi 3

) Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya ( a_n + a_n-1 + … + a₁ + a₀ )

habis dibagi 9

)  Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya ( a_n - a_n-1 + a_n-2 - … ) habis dibagi 11

BUKTI

Disini akan dibuktikan sifat keterbagian oleh 9.

Misalkan a = a_n a_{n-1 …} a₁ a₀

=  a_n × 10ⁿ + a_n-1 × 10^n-1 + … + a₁ × 10 + a₀ × 10⁰

=  a_n × ( 9+1)ⁿ + a_n-1 × (9+1)^n-1 + … + a₁ × (9+1) + a₀

=  a_n [ 9ⁿ + n 9^n-1+…+9n] + a_n + a_n-1[9^n-1 + (n-1)9^n-2+…+9(n-1)] +

a_n-1 + … + 9a₁ +a₁ +a₀

Suku-suku yang merupakan kelipatan 9 sudah jelas habis dibagi 9. Suku-suku yang bukan kelipatan 9 adalah a_n +a_n-1+…+a₁+a₀. Sehingga agar a habis dibagi 9 maka haruslah 9 a_n +a_n-1+…+a₁+a₀

CONTOH:

1. Tentukan apakah 9123333456789 habis dibagi :

a).3                         b). 9                                            c).11

Jawab:

9+1+2+3+3+3+3+4+5+6+7+8+9 = 63

a). Karena 3   63 maka 3   9123333456789

b). Karena 9   63 maka 9     9123333456789

c).9-1+2-3+3-3+3-4+5-6+7-8+9 = 13. Karena 11        13 maka 11       9123333456789

2.  Bilangan 6 angka a1989b habis dibagi oleh 72. Tentukan nilai a dan b. Jawab :

72  = 8 × 9. Sehingga 8  a1989b dan 9  a1989b.

8  a1989b ⇒ 8  89b ⇒ b = 6

9  a1989b ⇒ 9  a+1+9+8+9+b = a+33 ⇒ a = 3