BAB 1

PENDAHULUAN

Matematika adalah ilmu yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari.Karena itu kegiatan belajar dan mengajar matematika seharusnya dilakukan dengan cara yang semenarik mungkin, sehingga peserta didik tidak merasa bosan atau jenuh.Kemampuan Peserta didik dalam belajar matematika berbeda-beda,maka kegiatan belajar mengajar haruslah diatur sekaligus diperhatikan sesuai kemampuan Peserta didik tersebut.

Pembelajaran matematika diberikan dimulai dari sejak TK,SD,SMP,SMA bahkan hinga jenjang Perguruan Tinggi.Ini menunjukan bahwa matematika adalah salah satu pelajaran yang mempunyai peran sangat penting.Agar peserta didik bisa memahami pembelajaran matematika yang baik diperlukan salah satu cara berpikir matematika (mathematis) yaitu Penalaran dan Pembuktian.Dalam kondisi tersebut hasil belajar matematika peserta didik seharusnya menunjukan hasil yang cukup baik.Akan tetapi hal tersebut bertolak belakang dengan keadaan yang sesungguhnya.

Faktor yang mengakibatkan hasil belajar peserta didik rendah, diantaranya perilaku-perilaku negatif siswa dalam belajar matematika yang memungkinkan siswa tidak memiliki keinginan dalam belajar matematika.Kegiatan Pembelajaran disekolah biasanya hanya menekankan pada tranformasi informasi factual,guru cenderung menuliskan teorema tersebut dalam penyelesaian soal,peserta didik mencatat apa yang dijelaskan guru dan contoh penyelesaian soal yang ditulis.Selain itu,guru menuliskan soal-soal dipapan tulis dan siswa diminta mengerjakan,lalu guru meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pekerjaannya dipapan tulis.

Perbaikan hasil pembelajaran matematika perlu dilakukan melalui pebaikan kondisi yang mendukung peningkatan kecerdasan/kemampuan peserta didik.Perubahan sikap siswa terhadap matematika serta kemampuan dan keinginan guru dalam mengubah pradigma pendidikan.Tujuan pembelajaran matematika harus dipahami dengan baik oleh guru sebagai proses pembelajaran sesuai dengan apa yang diharapkan.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan Penalaran ?

2. Apa saja jenis-jenis Penalaran ?

3. Bagaimana cara mengetahui kemampuan penalaran dan mengaplikasikan ?

4. Apa yang dimaksud dengan Pembuktian ?

5. Apa saja metode Pembuktian ?

1.3 Tujuan

Untuk mengetahui jenis-jenis penalaran & pembuktian agar bisa mengaplikasikan dalam pembelajaran matematika sehingga bisa mendapatkan hasil yang maksimal.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Definisi Penalaran

Keraf dalam Fadjar Shadiq menjelaskan penalaran (jalan pikiran atau reasoning) sebagai proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan. Secara lebih jelas, Fadjar Shadiq mendefinisikan bahwa penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya (Shadiq, 2004:2). Menurut Copi dalam Fadjar Shadiq menyatakan penalaran sebagai Reasoning is a special kind of thinking in which inference takes place, in which conclusions are drawn from premises (Shadiq, 2007).

Berdasarkan definisi yang disampaikan Copi tersebut, Fajar Shadiq menerjemahkan bahwa penalaran merupakan kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasarkan pada beberapa pernyataan yang diketahui benar ataupun yang dianggap benar yang disebut premis.

Dari definisi yang dinyatakan oleh Copi tersebut dapat diketahui bahwa kegiatan penalaran terfokus pada upaya merumuskan kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang dianggap benar. Penalaran juga merupakan aktivitas berpikir yang abstrak. Untuk mewujudkannya diperlukan simbol. Simbol atau lambang yang digunakan dalam penalaran berbentuk bahasa, sehingga wujud penalaran akan berupa argumen. Pengertiannya adalah pernyataan atau konsep adalah abstrak dengan simbol berupa kata, sedangkan untuk proposisi simbol yang digunakan adalah kalimat (kalimat pernyataan) dan penalaran menggunakan simbol berupa argumen. Argumenlah yang dapat menentukan kebenaran konklusi dari premis.

2.2 Ciri – Ciri Penalaran Matematis

Syarat kebenaran dalam menalar dapat dipenuhi jika suatu penalaran bertolak dari pengetahuan yang sudah dimiliki seseorang akan suatu kebenaran. Dalam penalaran, pengetahuan yang dijadikan dasar konklusi adalah premis, jadi semua premis harus benar. Adapun ciri-ciri penalaran menurut Adisurya (2013) adalah sebagai berikut:

1. Proses berpikir logis, diartikan sebagai kegiatan berpikir menurut pola tertentu atau dengan kata lain menurut logika tertentu.

2. Bersifat analitik. Sifat analitik ini merupakan konsekuensi dari adanya suatu pola berpikir tertentu. Analisis pada hakikatnya merupakan suatu kegiatan berpikir berdasarkan langkah-langkah tertentu.

Menurut Sumarmo (2005),” beberapa kemampuan yang tergolong dalam penalaran matematis diantaranya adalah:

1. Menarik kesimpulan logis.

2. Memberi penjelasan dengan menggunakan gambar, fakta, sifat, hubungan, atau pola yang ada.

3. Memperkirakan jawaban dan proses solusi.

4. Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi, atau membuat analogi, generalisasi, dan menyusun konjektur.

5. Mengajukan lawan contoh.

6. Mengikuti argumen-argumen logis, memeriksa validitas argumen, membuktikan, dan menyusun argumen yang valid

7. Menyusun pembuktian langsung, pembuktian tak langsung dan pembuktian dengan induksi.

2.3 Jenis Penalaran

Jenis penalaran dalam matematika terbagi dua yaitu penalaran induktif dan deduktif, penalaran induktif dan deduktif dibutuhkan dalam mempelajari matematika. Penalaran induktif digunakan bila dari kebenaran suatu kasus khusus kemudian disimpulkan kebenaran untuk semua kasus. Sedangkan penalaran deduktif digunakan berdasarkan konsistensi pikiran dan konsistensi logika yang digunakan. Jika premis-premis dalam suatu silogisme benar dan format penyusunannya benar, maka kesimpulannya benar. Proses penarikan kesimpulan seperti ini dinamakan penalaran deduktif.

a. Penalaran induktif

Penalaran induktif menurut Shurter dan Pierce (dalam Shofiah, 2007 : 14) penalaran induktif adalah cara menarik kesimpulan yang bersifat umum dari kasus-kasus yang bersifat khusus. Lalu menurut Suriasumantri (dalam Shofiah, 2007 :15) penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan kesimpulan yang umum atau dasar pengetahuan tentang hal-hal yang khusus. Artinya,dari fakta-fakta yang ada dapat ditarik suatu kesimpulan. Menurut kami
Kesimpulan umum yang diperoleh melalui suatu penalaran induktif ini bukan merupakan bukti. Hal tersebut dikarenakan aturan umum yang diperoleh dari pemeriksaan beberapa contoh khusus yang benar, belum tentu berlaku untuk semua kasus. Aspek dari penalaran induktif adalah analogi dan generalisasi. Menurut Jacob (dalam Shofiah, 2007 :15), hal ini berdasarkan bahwa penalaran induktif terbagi menjadi dua macam, yaitu generalisasi dan analogi.

1. Analogi adalah proses penyimpulan berdasarkan kesamaan data atau fakta. Analogi dapat juga dikatakan sebagai proses membandingkan dari dua hal yang berlainan berdasarkan kesamaannya, kemudian berdasarkan kesamaannya itu ditarik suatu kesimpulan.

2. Generalisasi adalah pernyataan yang berlaku umum untuk semua atau sebagian besar gejala yang diminati generalisasi mencakup ciri – ciri esensial, bukan rincian. Dalam pengembangan karangan, generalisasi dibuktikan dengan fakta, contoh, data statistik, dan lain-lain.

b. Penalaran Deduktif

Penalaran Deduktif adalah penalaran dari yang umum ke yang detail/khusus. Artinya, penalaran ini berdasarkan pada pengetahuan sebelumnya yang bersifat umum serta menyimpulkan pengetahuan baru yang bersifat khusus. Penalaran deduktif ini bersifat silogisme, yang merupakan suatu argumen yang terdiri dari premis-premis(proposisi yang dijadikan dasar penyimpulan) dan kesimpulan(konklusi).

Alur berpikir deduktif dapat digambarkan sebagai berikut :

Ciri penalaran deduktif :
* Analitis, yaitu Kesimpulan yang ditarik hanya dengan menganalisa proposisi atau premis yang sudah ada.
* Tautologis, yaitu kesimpulan yang ditarik sesungguhnya secara tersirat sudah terkandung dalam premis-premisnya.
* A priori, yaitu kesimpulan yang ditarik tanpa pengamatan inderawi atau observasi empiris.
* Argumen deduktif selalu dapat dinilai sahih atau tidaknya.

2.4 Indikator Kemampuan Penalaran

Dijelaskan dalam teknis Peraturan Dirjen Dikdasmen Depdiknas nomor 506/C/Kep/PP/2004, diuraikan bahwa indikator siswa memiliki kemampuan penalaran adalah mampu: (Yulia, 2012: 14)
1. Mengajukan dugaan
2. Melakukan manipulasi matematika.
3. Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi.
4. Menarik kesimpulan dari pernyataan.
5. Memeriksa kesahihan suatu argument.
6. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi.

2.5 Pengaplikasian Penalaran

Pengaplikasian Penalaran matematika diperlukan untuk menentukan apakah sebuah argumen matematika benar atau salah dan dipakai untuk membangun suatu argumen matematika. Penalaran matematika tidak hanya penting untuk melakukan pembuktian atau pemeriksaan program, tetapi juga untuk inferensi dalam suatu sistem kecerdasan buatan. Pada dasarnya setiap penyelesaian soal matematika memerlukan kemampuan penalaran. Melalui penalaran, siswa diharapkan dapat melihat bahwa matematika merupakan kajian yang masuk akal atau logis. Dengan demikian siswa merasa yakin bahwa matematika dapat dipahami, dipikirkan, dibuktikan, dan dapat dievaluasi. Dan untuk mengerjakan hal-hal yang berhubungan diperlukan bernalar.

2.6 Masalah-Masalah Penalaran

a. Penalaran Analogi

b. Memeriksa Validitas Argumen

2.7 Pengertian Pembuktian

Pembuktian adalah suatu argumentasi logis yang menetapkan kebenaran suatu pernyataan. Logis berarti setiap langkah dalam argumentasi dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.

Tujuan Pembuktian Menurut Educatiob Development Center 2003 adalah untuk Menyusun fakta dengan pasti

1. Memperoleh pemahaman

2. Mengkomunikasi gagasan kepada orang lain

3. Membuat sesuatu menjadi indah

4. Mengkonstruksi teori matematika

2.8 Metode Pembuktian

1. Metode Pembuktian Langsung

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan. Hukum-hukum dalam matematika pada umumnya berupa proposisi atau pernyataan berbentuk implikasi (p q) atau biimplikasi (p q) atau pernyataan kuantifikasi yang dapat diubah bentuknya menjadi pernyataan implikasi.

2. Metode Pembuktian Tak Langsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q ~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

3. Metode Kontradiksi

Pembuktian melalui kontradiksi (bahasa Latin: reductio ad absurdum, 'reduksi ke yang absurd', bahasa Inggris: proof by contradiction, 'bukti oleh kontradiksi'), adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus.

4. Metode "Bukti Kosong"

Bila hipotesis p pada implikasi p q sudah bernilai salah maka implikasi p q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah

maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p q.

5. Metode Pembuktian Trivial

Bila pada implikasi p q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p q.

6. Metode Pembuktian Ketunggalan

Pembuktian ini membutuhkan bukti eksistensial misal x, kemudian ambil sembarang objek misalnya y lalu tunjukkan bahwa y=x. Cara lain adalah dengan mengambil y yang tidak sama dengan y lalu tunjukkan kontradiksi

7. Metode Pembuktian Dengan Counter Example

Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka pembuktian benar atau salahnya telah selesai.

8. Metode Induksi Matematika

Semua inferensi Matematika dimulai secara deduktif mengakibatkan sulitnya melakukan pembuktian secara induktsi. Untuk itu dibuatlah pendekatan langkah-langkah untuk membuktikannya. langkah dimulai dengan menerapkan n bilangan asli pertama kemedian melakukan generalisasi pada n=k dan membuktikan kebenaran n= k+1.

9. Metode Pembuktian Dua Arah

Untuk pernyataan yang berbentuk biimplikasi p<->q, pembuktian dilakukan dengan membuktikan p->q dan q->p. Pembuktian implikasi p->q dapat dilakukan dengan pembuktian no.1, 2, 3 dan lain-lain

10. Metode Pembuktian Eksistensial

Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda tak konstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

2.9. Pengaplikasian Pembuktian

1. Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x² bilangan ganjil.

Pembahasan: Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n-1 atau x=2n+1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x² = (2n - 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2 (2n² + 2)+1= 2m + 1

Keterangan : 2n²+2 diibaratkan sebagai m, karena adanya sifat ketertutupan operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat. Penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat.

2. Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa AB + AC > MB + MC

Pembahasan: Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC.

Maka diperoleh AB + AC = AB + AN + NC = BM + MN + NC > BM + MC

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dapat disimpulkan bahwa proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan. Penalaran adalah proses berpikir yang berusaha menghubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan.

Jenis penalaran dalam matematika terbagi dua yaitu penalaran induktif dan deduktif. Penalaran induktif adalah cara menarik kesimpulan yang bersifat umum dari kasus-kasus yang bersifat khusus.Penalaran Deduktif adalah penalaran dari yang umum ke yang detail/khusus.

Pengaplikasian Penalaran matematika diperlukan untuk menentukan apakah sebuah argumen matematika benar atau salah dan dipakai untuk membangun suatu argumen matematika.

Pengaplikasian Penalaran:

· Penalaran Analogi

· Memeriksa Validitas Argumen

Pembuktian adalah suatu argumentasi logis yang menetapkan kebenaran suatu pernyataan. Logis berarti setiap langkah dalam argumentasi dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

repository.unpas.ac.id/

Simangunsong,Wilson.2009.Matematika SMA/MA KELAS X.Jakarta:Gematama

http://www.gurupantura.com/2016/11/pengertian-jenis-indikator-penalaran-matematika.html

http://www.catatanrobert.com/penalaran-deduktif-dan-induktif/

http://nurulanggraenihidayati130809.blogspot.com/2015/09/logika-matematika-metode-pembuktian.html

https://www.slideshare.net/NailulHimmiJNE/penalaran-matematika