Representasi Matematis dalam Pembelajaran Matematiks

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Pengajaran matematika tidak sekedar menyampaikan berbagai informasi seperti aturan, definisi, dan prosedur untuk dihafal oleh siswa tetapi guru harus melibatkan siswa secara aktif dalam proses belajar mengajar. Keikutsertaan siswa secara aktif akan memperkuat pemahamannya terhadap konsep-konsep matematika. Hal ini sesuai dengan prinsip-prinsip kontruktivisme yakni pengetahuan dibangun oleh siswa sendiri, baik secara personal maupun sosial, pengetahuan tidak dapat dipindahkan dari guru ke siswa, kecuali melalui keaktifan siswa sendiri untuk menalar, siswa aktif untuk mengkontruksi terus-menerus, sehingga selalu terjadi perubahan konsep menuju kearah yang lebih kompleks, guru sekedar membantu menyediakan sarana dan situasi agar proses konstruksi siswa berjalan.

Setiap siswa mempunyai cara yang berbeda untuk mengkontruksikan pengetahuannya. Dalam hal ini, sangat memungkinkan bagi siswa untuk mencoba berbagai macam representasi dalam memahami satu konsep. Selain itu representasi juga berperan dalam proses penyelesaian masalah matematis.

1.2  Rumusan Masalah

1.      Apa yang dimaksud dengan representasi ?

2.      Apa saja manfaat dari representasi matematis dalam pembelajaran matematika ?

3.      Bagaimana cara memahami masalah matematika dalam pembelajaran matematika sekolah?

1.3  Tujuan

Tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui cara penyelesaian masalah dalam matematika dan mengetahui manfaat representasi matematis dalam pembelajaran matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Representasi                              

Konsep tentang representasi merupakan salah satu konsep psikologi yang digunakan dalam pendidikan matematika untuk menjelaskan beberapa phenomena penting tentang cara berfikir anak-anak (Janvier dalam Radford, 2001). Namun sebelumnya Davis, dkk (dalam Janvier, 1987) menyatakan bahwa sebuah representasi dapat berupa kombinasi dari sesuatu yang tertulis diatas kertas, sesuatu yang eksis dalam bentuk obyek fisik dan susunan ide-ide yang terkontruksi didalam pikiran seseorang. Sebuah representasi dapat dianggap sebagai sebuah kombinasi dari tiga komponen: simbol (tertulis), obyek nyata, dan gambaran mental. Kalathil dan Sherin (2000) lebih sederhana menyatakan bahwa segala sesuatu yang dibuat siswa untuk mengekternalisasikan dan memperlihatkan kerjanya disebut representasi. Dalam pengertian yang paling umum, representasi adalah suatu konfigurasi yang dapat menggambarkan sesuatu yang lain dalam beberapa cara (Goldin, 2002).

NCTM (dalam Misel, 2016 : 27) menegaskan bahwa kemampuan representasi matematis sangat penting untuk dimiliki siswa, yaitu “Representation is central to the study of mathematics. Students can develop and deepen their understanding of mathematical concepts and relationships as they create, compare, and use various representations. Representations also help students communicate their thinking. Representasi juga membantu mengkomunikasikan pemikiran siswa tentang matematika. Kemampuan representasi matematis siswa perlu dikembangkan melalui proses dengan mempertimbangkan tahap perkembangan khususnya bagi siswa sekolah dasar yang sedang memasuki fase operasional konkret.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa representasi adalah bentuk interpretasi pemikiran siswa terhadap suatu masalah, yang digunakan sebagai alat bantu untuk menemukan solusi dari masalah tersebut. Bentuk interpretasi siswa dapat berupa kata-kataatau verbal, tulisan, gambar, tabel, grafik, benda konkrit, simbol matematika dan lain-lain.

Sejumlah pakar (Goldin; 2002, Ostad, http://www.idp-europe.org / indonesia/buku inklusi/pdf/13-Memahami_dan_Menangani Bilangan. Pdf, Hiebert dan Carpenter dalam Harries dan Barmby, 2006) membagi representasi menjadi dua bagian yakni representasi eksternal dan internal. Representasi eksternal, dalam bentuk bahasa lisan, simbol tertulis, gambar atau objek fi

sik. Sementara untuk berfikir tentang gagasan matematika maka mengharuskan representasi internal. Representasi internal (representasi mental) tidak bisa secara langsung diamati karena merupakan aktivitas mental dalam otaknya.

                     

2.2 Representasi Matematis dalam Pembelajaran Matematika

Representasi sangat berperan dalam upaya mengembangkan dan mengoptimalkan kemampuan matematika siswa. NCTM dalam Principle and Standars for School Mathematics (Standars,2000) mencantumkan representasi (representation) sebagai standar proses kelima setelah problem solving, reasoning, communication, and connection. Menurut Jones (2000) beberapa alasan penting yang mendasarinya adalah sebagai berikut:

1.      Kelancaran dalam melakukan translasi di antara berbagai bentuk representasi berbeda merupakan kemampuan mendasar yang perlu dimiliki siswa untuk membangun konsep dan berpikir matematis.

2.      Cara guru dalam meyajikan ide-ide matematika melalui berbagai representasi akan memberikan pengaruh yang sangat besar terhadap pemahaman siswa dalam mempelajari matematika.

3.      Siswa membutuhkan latihan dalam membangun representasinya sendiri sehingga memiliki kemampuan dan pemahaman konsep yang kuat dan fleksibel yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah.

Meskipun demikian, ada beberapa keberatan dari para ahli matematika yang berkaitan dengan dimasukkannya representasi sebagai standar proses seperti yang diungkapkan Jones (2000) sebagai berikut:

1.      Anggapan bahwa representasi adalah sinonim dengan model matematika. Ini berarti bahwa representasi sudah merupakan bagian dari standar isi, khususnya dalam aljabar yang berkaitan dengan rumus-rumus dan fungsi yang dideskripsikan sebagai standar bahwa ”siswa dapat menggunakan model-model matematika dan menganalisis perubahan dalam konteks real dan abstrak.”

2.      Representasi adalah hanya bagian dari proses pemecahan masalah dan hal ini sudah tercakup dalam standar pemecahan masalah. Selain itu, kelebihan dari representasi sebagai standar proses tidak begitu penting. Standar proses dari pemecahan masalah, komunikasi, penalaran dan koneksi semua memuat standar isi yang tidak dibatasi dalam representasinya

3.      Representasi sebagai bagian dari perkembangan kognitif tidak memberikan jaminan memiliki peranan yang menonjol dalam sajian masalah matematika.

Adapun standar representasi yang ditetapkan National Council of Teacher of Mathematics(NCTM) untuk program pembelajaran dari pra-taman kanak-kanak sampai kelas 12 adalah bahwa harus memungkinkan siswa untuk:

1.      Membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat, dan mengkomunikasikan ide-ide matematika.

2.      Memilih, menerapkan, dan menterjemahkan antar representasi matematika untuk memecahkan masalah.

3.      Menggunakan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan matematika.

Dari beberapa defenisi tersebut diatas dapat disimpulkan bahwa representasi matematis adalah ungkapan-ungkapan dari ide-ide matematika (masalah, pernyataan, definisi, dan lain-lain) yang digunakan untuk memperlihatkan (mengkomunikasikan) hasil kerjanya dengan cara tertentu (cara konvensional atau tidak konvensional) sebagai hasil interpretasi dari pikirannya.

 Ketika siswa dihadapkan pada suatu situasi masalah matematika dalam pembelajaran di kelas, mereka akan berusaha memahami masalah tersebut dan menyelesaikannya dengan cara-cara yang mereka ketahui. Cara-cara tersebut sangat terkait dengan pengetahuan sebelumnya yang sudah ada yang berhubungan dengan masalah yang disajikan. Salah satu bagian dari upaya yang dapat dilakukan siswa adalah dengan membuat model atau representasi dari masalah tersebut. Model atau representasi yang di buat bisa bermacam-macam tergantung pada kemampuan masingmasing individu dalam menginterpretasikan masalah yang ada. 

Pembelajaran matematika di kelas hendaknya memberikan kesempatan yang cukup bagi siswa untuk dapat melatih dan mengembangkan kemampuan representasi matematis sebagai bagian yang penting dalam pemecahan masalah. Masalah yang disajikan disesuaikan dengan isi dan kedalaman materi pada jenjang masing-masing dengan memperhatikan pengetahuan awal atau prasyarat yang dimiliki siswa.

Salah satu contoh masalah matematika dalam NCTM (2000) yang terkait dengan representasi matematis disajikan dalam contoh berikut:

”Apa yang akan terjadi terhadap luas daerah sebuah persegi  panjang jika panjang sisinya menjadi dua kali panjang semula?”

Masalah di atas menarik untuk disajikan karena siswa ditantang untuk berpikir menggunakan informasi yang tersedia dan mengaitkannya dengan pengetahuan yang sudah mereka miliki sebelumnya.

Cara penyelesaian :

Misalkan :

Panjang persegi panjang “a” dan lebarnya “b”, maka luas persegi panjang menjadi

L = a´b =ab

Jika panjang sisinya menjadi dua kali panjang semula, maka panjangnya 2a dan lebarnya 2b, sehingga luasnya menjadi

L = 2a ´ 2b = 4ab

Jadi dapat disimpulkan bahwa luas persegi panjang yang baru menjadi 4 kali luas persegi panjang semula.

            Selain cara tersebut, sebagian siswa mungkin ada yang berfikir langsung bahwa luasnya menjadi dua kali dari luas persegi panjang semula. Mereka berargumen bahwa jika panjang sisinya dua kali panjang semula tentu luasnya juga akan menjadi dua kali luas persegi panjang semula. Oleh karena itu, guru juga harus memberikan pemahaman yang lebih mudah dipahami agar pemikiran siswa tidak berhenti sampai disitu, misalnya dengan menanyakan kembali jawaban mereka atau meminta mereka untuk berfikir kembali menggunakan cara lain.

Pembuktian dengan cara lain menggunakan representasi gambar.

Gambar 1.Representasi siswa sebagai hasil dari menduakalikan ukuran panjang sisi-sisi persegi panjang (NCTM, 2000)

Dari hasil representasi gambar 1 sebelumnya, terlihat bahwa penyelesaian dari masalah yang diberikan dapat lebih mudah ditemukan dan dapat menunjukkan dengan jelas bahwa persegi panjang yang baru besarnya empat kali ukuran semula. Aktivitas yang terjadi dalam pembelajaran tidak hanya menunjukkan bagaimana cara siswa menjawab tetapi juga ada proses pembenaran terhadap jawaban siswa yang lain.

Contoh lain ( Bain & Engelhardts (1992) ) :

                        Sebuah tas berisi 3 koin (mata uang logam), 1 koin punya sisi yang sama (keduanya gambar ) dan 2 koin normal. Sebuah koin dipilih secara acak dari dalam tas dan di toss 3x. Berapa peluang mendapatkan ketiganya ?

            Permasalahan di atas cukup menantang untuk disajikan karena menuntut kemampuan mahasiswa memahami soal dengan baik. Soal ini tergolong jenis soal non rutin. Soal non rutin adalah soal yang membutuhkan penerapan keterampilan pada situasi yang tidak biasa (unfamiliar). Soal non rutin juga membutuhkan ekstensi (perluasan) keterampilan atau teori yang sudah dikenal sebelum diterapkan pada situasi yang tidak biasa.

Jawaban yang dikemukakan pada gambar 2 memiliki kesalahan yang mendasar dalam menentukan ruang sampel dari masalah yang diberikan. Mahasiswa mengalami kesulitan ketika masalah yang biasa (familiar) diubah settingnya menjadi masalah yang tidak biasa (unfamiliar), yakni koin yang normal (punya dua sisi yang berbeda) diganti menjadi koin yang tidak normal yaitu koin mempunyai dua sisi yang sama (keduanya Gambar). Sehingga banyaknya anggota ruang sampel dari koin yang di toss 3x menurut mereka sebanyak 17 buah, yang berasal dari koin normal (AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG) sebanyak 16 buah (2x8) dan dari koin yang bersisi sama (GGG) sebanyak 1 buah. Mereka menghitung bahwa banyaknya GGG sebanyak 3 buah, dan peluangnya adalah 3/17. Kemudian menyimpulkan bahwa peluang mendapatkan ketiganya Gambar (GGG) adalah 3/17 x 1/3, dimana bilangan 1/3 adalah peluang dari masing masing koin.

Sebenarnya masalah tersebut bisa dipandang sebagai permasalahan biasa sebagaimana koin normal, sehingga banyaknya anggota ruang sampel tetap sebanyak 3³ = 24 buah. Untuk koin yang berisi sama (keduanya G), maka banyaknya anggota ruang sampel tetap sebanyak 2³ = 8, hanya saja semua anggota ruang sampelnya adalah GGG. Representasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut misalnya sebagai berikut :

Gambar 3. Representasi dalam menentukan nilai peluang suatu kejadian

Representasi yang ditunjukkanpada gambar 3 memandang kejadian secara umum, berdasarkan konsep penentuan ruang sampel dari suatu kejadian. Masing-masing koin yang diasumsikan terpilih kemudian di toss dibuatkan daftar ruang sampelnya. Ruang sampel dari masing-masing koin kemudian digabungkan. Penentuan nilai peluang ketiganya Gambar (GGG) berdasarkan pada ruang sampel secara keseluruhan.

Bentuk representasi yang berbeda dari permasalahan di atas misalnya sebagai berikut:

      Gambar 4. Representasi dalam menentukan nilai peluang suatu kejadian

            Representasi di atas menggunakan konsep peluang total dari suatu kejadian ( Law of Total Probability). Peluang masing-masing koin dihitung kemudian dikalikan dengan peluang munculnya (GGG) dengan syarat koin terpilih  pada masing-masing koin. Peluang total ketiganya Gambar (GGG) adalah penjumlahan dari peluang (GGG) pada masing-masing koin.

            Bentuk representasi yang lebih sederhana dari representasi yang diberikan pada gambar 4 sebelumnya adalah sebagai berikut :

       Gambar 5. Representasi dalam menentukan nilai peluang suatu kejadian

            Representasi pada gambar 5 juga menggunakan konsep peluang total dari suatu kejadian (Law of Total Probability). Koin dibedakan menjadi dua jenis, yakni normal (kedua sisi berbeda) dan tidak normal (kedua sisi sama, keduanya gambar). Peluang masing-masing jenis koin dihitung, kemudian dikalikan dengan peluang munculnya (GGG) dengan syarat jenis koin terpilih pada masing-masing kejadian. Peluang total ketiganya Gambar (GGG) adalah penjumlahan dari peluang (GGG) adalah penjumlahan dari peluang (GGG) pada masing-masing jenis koin.

2.3  Manfaat Representasi Matematis Dalam Pembelajaran Matematika

             Representasi, baik secara internal maupun secara eksternal perlu dilakukan dalam proses pembelajaran matematika karena dapat membantu siswa dalam mengorganisasikan fikirannya, memudahkan pemahamannya, serta memfokuskannya pada hal-hal yang esensial dari masalah matematik yang dihadapinya. Selain itu, representasi juga dapat membantu siswa dalam membangun konsep atau prinsip matematik yang sedang dipelajarinya. Dengan demikian, sangat tepat disebutkan bahwa representasi merupakan pusat pembelajaran dan penggunaan matematika.

            Representasi sebagai elemen krusial dalam pembelajaran matematika bukan hanya karena penggunaan sistem simbol sangat penting dalam matematika; sintaksis dan semantiknya yang kaya, bervariasi, dan universal; tetapi juga karena alasan kuat secara epistemologi yaitu matematika memainkan bagian penting dalam konseptualisasi dunia nyata. Representasi bukan hanya bermanfaat untuk siswa tetapi juga untuk guru. Beberapa manfaat atau nilai tambah yang diperoleh guru atau siswa sebagai hasil proses pengajaran dan

Pembelajaran  yang melibatkan representasi matematik adalah sebagai berikut :

1.      Pengajaran yang melibatkan representasi dapat memicu guru dalam meningkatkan kemampuan mengajar dengan cara belajar baik dari representasi-representasi yang dihadirkan siswa – karena seringkali siswa menggambarkan sesuatu yang berbeda dengan apa yang ada dalam fikiran guru bahkan siswa membuat representasi yang aneh- aneh (idiocyncratic) – maupun dengan proses pengembangan wawasan keilmuannya. Pada sisi yang lain, representasi-representasi yang dibuat oleh siswa memberi kesempatan kepada guru untuk mengetahui dan mengakses bagaimana siswa berpikir tentang matematika.

2.      Pembelajaran matematika yang menekankan representasi dapat memberi manfaat atau nilai tambah untuk siswa seperti :

A.    Meningkatkan Pemahaman Siswa.

Belajar matematika dengan mengandalkan pemahaman berarti bahwa gagasan atau ide matematik yang dipelajari direpresentasikan dengan baik secara internal di dalam fikiran siswa maupun secara eksternal berupa penyajian dalam bentuk lisan, simbol- simbol tertulis, gambar-gambar, atau objek-objek fisik. Penggunaan representasi matematik dalam pembelajaran dapat membuat siswa lebih baik dalam pemahaman, penganalisisan cara penyelesaian, penyediaan fasilitas pemanipulasian, dan pembentukan mental image baru.

B.     Menjadikan Representasi Matematik sebagai Alat Konseptual

Thomas dan Hong ( dalam Rangkuti, 2014 : 116) berpendapat bahwa suatu representasi dapat dilihat sebagai suatu konstruksi yang multi-muka yang mengasumsikan peran-peran berbeda tergantung kepada cara siswa berinteraksi dengan representasi tersebut7. Siswa dapat berinteraksi dengan representasi sedikitnya dalam dua cara yaitu dengan mengobservasinya atau dengan melakukannya.

            Meningkatnya representasi pemikiran visual sangat penting dalam pemecahan masalah matematis. Modelminds (dalam Surya, 2013) mengatakan ada 10 alasan mengapa pemikiran visual penting dalam memecahkan masalah yang kompleks, yaitu: (1) Pemikiran visual membantu memahami masalah kompleks lebih mudah, (2) Visualisasi masalah kompleks, menjadi lebih mudah untuk berkomunikasi dan Bagi orang lain untuk menyelesaikannya, (3) Pemikiran visual membantu orang berkomunikasi lintas budaya dan bahasa, (4) Pemikiran visual membuat komunikasi dari sisi emosional menjadi lebih baik, (5) Visualisasi membantu memfasilitasi penyelesaian masalah non linier, (6) Visualisasi masalah memungkinkan orang berpikir bersama dengan gagasan masing-masing dengan menciptakan bahasa yang sama, (7) pemetaan visual masalah dapat membantu untuk melihat kesenjangan dari solusi yang dapat ditemukan; (8) Visualisasi membantu orang untuk menghafal, membuat gagasan menjadi konkret dan dengan demikian menciptakan hasil yang lebih akurat pada akhirnya; (9) Pemikiran visual dapat memberi Anda gambaran yang diperlukan untuk belajar dari kesalahan Anda; (10) Visualisasi berfungsi sebagai motivasi yang hebat untuk mencapai suatu tujuan.

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

Kemampuan representasi merupakan salah satu kemampuan yang penting untuk dikembangkan dah harus dimiliki oleh siswa karena kemampuan representasi berpusat dari studi matematika sehingga siswa dapat membangun dan memperdalam konsep pemahaman matematis dan hubungannya dengan membuat, membandingkan, dan menggunakan representasi yang bermacam-macam. Kemampuan representasi matematis siswa perlu dikembangkan melalui proses dengan mempertimbangkan tahap perkembangan khususnya bagi siswa sekolah dasar yang sedang memasuki fase operasional konkret. Kemampuan matematika yang dihubungkan dengan ketereratannya antara kemampuan komunikasi dalam setiap proses kegiatan matematika yang melibatkan komunikasi eksternal seperti kemampuan representasi tertulis dan representasi lisan dalam grafik, kata-kata, symbol dan gambar. Kemampuan representasi adalah suatu kemampuan matematika dengan pengungkapan ide- ide matematika (masalah, pernyataan, definisi, dan lain-lain dalam berbagai cara).

Peningkatan kemampuan matematika representasi, guru melalui proses penemuan dengan menggunakan konsep matematis horisontal dan vertikal. Konsep mahtematisasi horisontal bentuk identifikasi, masalah visualisasi melalui sketsa atau gambar yang dimilikinya sudah diketahui siswa. Konsep matematis vertikal adalah representasi dari hubungan bentuk, rekonsepsi dan penyesuaian model matematis, penggunaan model dan generalisasi yang berbeda.

DAFTAR PUSTAKA

                                                 

BSNP. 2006, Standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah, Pdf, Jakarta

Cahdriyana, R. A., Sujadi, I., & Riyadi. 2014. Representasi Matematis Siswa Kelas VII Di SMP N 9 Yogyakarta Dalam Membangun Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Jurnal Elektronik Pembelajaran Matematika : ISSN : 2339-1685

Kartini. Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika. Riau (http://eprints.uny.ac.id/7036/1/P22-Kartini.pdf)

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM Publication

Purmono., Andi, E., dan Mawarsari, V. N., 2014, Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Melalui Model Pembelajaran Problem Solving Berbasis Project Based Learning, JKPM, Volume 1 Nomor 1: 2339:2444

Rangkuti, A. N. 2014. Representasi Matematis. Forum Paedagogik : Vol. VI, No. 01

Simanjuntak, M., & Surya E. Peningkatan Kemampuan Representasi dan Komunikasi Matematis Siswa SMP Pada Materi Transformasidengan Strategi Think-Talk-Write (TTW) Berbantuan Kartu Domino. Pps Unimed Medan

Slameto. 2013. Belajar dan Faktor-faktor Yang Mempengaruhinya. Jakarta : Rineka Cipta

Surya, E., Sabandar, J., Kusumah Y. S., & Darhim. 2013. Improving of Junior High School Visual Thinking Representation Ability in Mathematical Problem Solving by CTL. IndoMS. J.M.E : Vol. 4, No. 1

Surya, E., & Istiawati. 2016. Mathematical Representation Ability In Private Class XI SMA YPI Dharma Budi Sidamanik. Jurnal Saung Guru : Vol. VIII, No. 2

Suwangsih, E., & Misel. 2016. Penerapan Pendekatan Matematika Realistik Untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Siswa. Metodi Didaktik : Vol. 10, No. 2

Syafri, F. S. 2017. Kemampuan Representasi Matematis Dan Kemampuan Pembuktian Matematika. Jurnal Edumath : ISSN Online : 2356-2056

Trianto. 2010. Model Pembelajaran Inovatif-Progresif Konsep Landasan dan Implementasinya pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta : Kencana

Yulia, Nanda, dkk. 2017. Kemampuan Representasi Matematis Siswa pada Pembelajaran Matematika, Pdf. Jakarta. (https://www.researchgate.net/publication/321803888_Kemampuan_Representasi_Matematis_Siswa_Pada_Pembelajaran_Matematika)

Sabirin, Muhammad. 2014. Representasi dalam Pembelajaran Matematika. Banjarmasin. (https://media.neliti.com/media/publications/121557-ID-representasi-dalam-pembelajaran-matemati.pdf#page=12&zoom=auto,-107,842)